Usuwanie niewymierności z mianownika to przekształcanie ułamka tak, aby w mianowniku nie było pierwiastka. Brzmi trudno, ale w większości zadań wystarczy rozpoznać jeden z dwóch schematów: mnożenie przez pierwiastek albo mnożenie przez podobne wyrażenie ze zmienionym znakiem.
Co to znaczy usunąć niewymierność z mianownika?
Usunąć niewymierność z mianownika znaczy zapisać ułamek w takiej postaci, żeby w mianowniku nie było pierwiastka. Wartość ułamka się nie zmienia. Zmieniamy tylko jego zapis.
Prosty przykład
Ułamek 1√2 ma pierwiastek w mianowniku. Po usunięciu niewymierności można go zapisać tak:
Taki zapis otrzymujemy dlatego, że licznik i mianownik mnożymy przez tę samą liczbę. To ważna zasada: nie wolno zmienić tylko mianownika. Jeśli coś robisz z mianownikiem, to samo musisz zrobić z licznikiem.
Po co usuwa się niewymierność z mianownika?
W zadaniach szkolnych często wymaga się, żeby wynik nie miał pierwiastka w mianowniku. Dzięki temu ćwiczysz działania na pierwiastkach, skracanie ułamków i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Warto wiedzieć
Na sprawdzianie lub egzaminie wynik z pierwiastkiem w mianowniku może zostać uznany za niedokończony, jeśli w poleceniu jest napisane: „usuń niewymierność z mianownika”.
Gdy w mianowniku jest jeden pierwiastek
To najprostszy typ zadań. Jeśli w mianowniku jest sam pierwiastek, na przykład √5, albo liczba razy pierwiastek, na przykład 2√3, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek.
Zasada
Jeśli w mianowniku jest √a, pomnóż licznik i mianownik przez √a. Wtedy w mianowniku powstaje √a · √a = a.
Przykład 1
Usuń niewymierność z mianownika:
- Mianownik to √5, więc mnożymy licznik i mianownik przez √5.
-
3√5 · √5√5 = 3√55
- Odpowiedź: 3√55.
Przykład 2
Usuń niewymierność z mianownika:
- W mianowniku jest 2√3. Pierwiastkiem, który trzeba usunąć, jest √3.
-
72√3 · √3√3 = 7√32 · 3 = 7√36
- Odpowiedź: 7√36.
Uwaga
Jeśli w mianowniku masz 2√3, zwykle mnożysz przez √3, a nie przez całe 2√3. Dzięki temu wynik jest prostszy.
Gdy w mianowniku jest dodawanie lub odejmowanie
Drugi ważny przypadek pojawia się wtedy, gdy w mianowniku jest dodawanie albo odejmowanie, na przykład 2 + √3 albo 5 − √7. Wtedy mnożymy przez prawie takie samo wyrażenie, ale ze zmienionym znakiem. Takie wyrażenie nazywa się czasem wyrażeniem sprzężonym, czyli wyrażeniem ze zmienionym znakiem, ale najważniejsze jest zrozumienie samej zasady.
Zmieniamy tylko znak między składnikami
Jeśli w mianowniku masz dodawanie, mnożysz przez takie samo wyrażenie z odejmowaniem. Jeśli masz odejmowanie, mnożysz przez takie samo wyrażenie z dodawaniem. Matematyczna nazwa takiego wyrażenia to wyrażenie ze zmienionym znakiem.
- Dla 2 + √3 wyrażenie ze zmienionym znakiem to 2 − √3.
- Dla 5 − √7 wyrażenie ze zmienionym znakiem to 5 + √7.
Działa tu wzór na różnicę kwadratów:
Przykład 3
Usuń niewymierność z mianownika:
- Mianownik to 2 + √3, więc wyrażenie ze zmienionym znakiem to 2 − √3.
-
Mnożymy licznik i mianownik przez 2 − √3:
12 + √3 · 2 − √32 − √3
- Licznik to 1 · (2 − √3) = 2 − √3.
-
Mianownik liczymy ze wzoru:
(2 + √3)(2 − √3) = 22 − (√3)2 = 4 − 3 = 1
-
Odpowiedź:
12 + √3 = 2 − √3
Przykład 4
Usuń niewymierność z mianownika:
- Wyrażenie ze zmienionym znakiem dla mianownika 5 − √7 to 5 + √7.
-
45 − √7 · 5 + √75 + √7 = 4(5 + √7)25 − 7
-
4(5 + √7)18 = 2(5 + √7)9
- Odpowiedź: 2(5 + √7)9.
Jak wybrać dobrą metodę?
Spójrz tylko na mianownik. To on podpowiada, co zrobić.
W mianowniku jest jeden pierwiastek
Przykłady: √6, 3√2
Metoda: pomnóż licznik i mianownik przez ten pierwiastek.
W mianowniku jest suma lub różnica
Przykłady: 4 + √5, √7 − 2
Metoda: pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie ze zmienionym znakiem.
Najczęstsze błędy
Błąd 1: mnożenie tylko mianownika
Licznik i mianownik trzeba pomnożyć przez tę samą liczbę. Inaczej zmienisz wartość ułamka.
Błąd 2: zły znak w sprzężeniu
Jeśli w mianowniku jest 3 + √2, to sprzężenie ma znak minus: 3 − √2.
Błąd 3: brak nawiasów
Przy wyrażeniach typu 2 + √5 nawiasy są ważne. Trzeba mnożyć całe wyrażenie, a nie tylko jego fragment.
Błąd 4: brak skrócenia wyniku
Po usunięciu niewymierności sprawdź, czy ułamek da się jeszcze skrócić. W przykładzie 4(5 + √7)18 można skrócić przez 2.
Zadania: usuń niewymierność z mianownika
Rozwiąż zadania samodzielnie, a potem rozwiń odpowiedź. Najpierw zdecyduj, czy trzeba pomnożyć przez pierwiastek, czy przez wyrażenie ze zmienionym znakiem.
Zadanie 1: 1√3
Pomnóż licznik i mianownik przez √3.
Zadanie 2: 5√2
Zadanie 3: 23√5
Zadanie 4: 11 + √2
Wyrażenie ze zmienionym znakiem dla mianownika to 1 − √2.
Zadanie 5: 34 − √7
Wyrażenie ze zmienionym znakiem dla mianownika to 4 + √7.
Zadanie 6: 2√3√3 − 1
Wyrażenie ze zmienionym znakiem dla mianownika to √3 + 1.
Mini-test: sprawdź, czy rozumiesz
W każdym przykładzie najpierw wybierz metodę. Dopiero potem licz.
Jaka metoda dla 6√11?
Pomnóż licznik i mianownik przez √11.
Jaka metoda dla 23 + √5?
Użyj wyrażenia sprzężonego: 3 − √5.
Jaka metoda dla 47√2?
Pomnóż licznik i mianownik przez √2.
Zapamiętaj: najważniejsza zasada
Najpierw sprawdź mianownik. Jeśli jest w nim jeden pierwiastek, pomnóż licznik i mianownik przez ten pierwiastek. Jeśli w mianowniku jest suma lub różnica, użyj wyrażenia ze zmienionym znakiem. Na końcu zawsze sprawdź, czy da się skrócić ułamek.
Chcesz rozwiązywać więcej zadań bez stresu?
Jeśli chcesz lepiej zrozumieć pierwiastki, ułamki i zadania krok po kroku, zapisz się na korepetycje w Tutore. Nauczyciel pomoże Ci przećwiczyć podobne przykłady i wyjaśni dokładnie te miejsca, które sprawiają Ci największą trudność.
Zapisz się na korepetycje w TutoreFAQ: usuwanie niewymierności z mianownika
Czy zawsze trzeba usuwać niewymierność z mianownika?
Nie zawsze, ale w zadaniach szkolnych często jest to wymagane. Jeśli w poleceniu jest „usuń niewymierność z mianownika”, wynik powinien być zapisany bez pierwiastka w mianowniku.
Co to jest wyrażenie sprzężone?
To wyrażenie z tymi samymi składnikami, ale z przeciwnym znakiem. Dla 2 + √5 wyrażeniem sprzężonym, czyli wyrażeniem ze zmienionym znakiem jest 2 − √5.
Dlaczego po pomnożeniu przez sprzężenie znika pierwiastek?
Bo korzystamy ze wzoru (a − b)(a + b) = a2 − b2. Gdy podnosimy pierwiastek do kwadratu, na przykład (√3)2, otrzymujemy liczbę 3.
Co zrobić, gdy w mianowniku są dwa pierwiastki?
Jeśli mianownik ma postać sumy lub różnicy, na przykład √5 + √2, użyj sprzężenia: √5 − √2.
