Blog » Funkcja logarytmiczna – definicja, właściwości i przykłady

Przedmioty szkolne

Przedmioty szkolne

Funkcja logarytmiczna – definicja, właściwości i przykłady

18 czerwca 2024

Funkcja logarytmiczna to jedna z podstawowych funkcji matematycznych, która odgrywa istotną rolę w wielu dziedzinach nauki, takich jak matematyka, fizyka, chemia oraz ekonomia. Zrozumienie funkcji logarytmicznej jest kluczowe dla każdego ucznia, który chce opanować zaawansowane zagadnienia matematyczne. W tym artykule wyjaśnimy, czym jest, jakie są jej właściwości oraz jak wygląda jej wykres. Przedstawimy także przykłady i zadania, które pomogą w nauce.

Czym jest funkcja logarytmiczna?

Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej. Jeśli mamy funkcję wykładniczą $y = a^x$ , to funkcją logarytmiczną jest funkcja $x = \log_a y$ , gdzie $a$ jest podstawą logarytmu i musi być liczbą większą od zera oraz różną od jedności.

Ogólna postać funkcji logarytmicznej to:

$f(x) = \log_a x$

Właściwości funkcji logarytmicznej

Funkcja log ma wiele ciekawych właściwości, które czynią ją niezwykle użyteczną w matematyce i innych dziedzinach nauki. Oto niektóre z nich:

1. Dziedzina i przeciwdziedzina

Dziedziną funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_a x$ są liczby rzeczywiste dodatnie ( $x > 0$ ). Przeciwdziedziną funkcji logarytmicznej są wszystkie liczby rzeczywiste ( $y \in \mathbb{R}$ ).

2. Punkt przecięcia z osią X

Funkcja logarytmiczna przecina oś X w punkcie (1,0), ponieważ $\log_a 1 = 0$ dla każdej podstawy $a$ .

3. Monotoniczność

Funkcja logarytmiczna jest monotonicznie rosnąca dla $a > 1$ i monotonicznie malejąca dla $0 < a < 1$ .

4. Asymptoty

Funkcja logarytmiczna ma asymptotę pionową przy $x = 0$ , ponieważ logarytm zbliża się do nieskończoności, gdy $x$ zbliża się do zera.

5. Zależność od podstawy

Zmiana podstawy logarytmu powoduje skalowanie wykresu funkcji logarytmicznej. Im większa podstawa, tym wolniej rośnie funkcja.

Przykłady funkcji logarytmicznych

Przykład 1: Funkcja logarytmiczna o podstawie 10

$f(x) = \log_{10} x$

Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (1,0) i rośnie wolniej niż funkcja logarytmiczna o podstawie e.

Przykład 2: Funkcja logarytmiczna o podstawie e (logarytm naturalny)

$f(x) = \ln x$

Logarytm naturalny jest często używany w matematyce i naukach przyrodniczych. Wykres tej funkcji również przechodzi przez punkt (1,0), ale rośnie szybciej niż logarytm dziesiętny.

Przykład 3: Funkcja logarytmiczna o podstawie 2

$f(x) = \log_2 x$

Funkcja ta rośnie szybciej niż logarytm dziesiętny i logarytm naturalny.

Wykres funkcji logarytmicznej

Aby lepiej zrozumieć, jak wygląda wykres funkcji logarytmicznej, warto narysować kilka wykresów dla różnych podstaw. Oto przykłady wykresów dla podstaw 10, e oraz 2:

$f(x) = \log_{10} x$

$f(x) = \ln x$

$f(x) = \log_2 x$

Przykłady i zadania

Aby lepiej zrozumieć funkcje logarytmiczne, warto przećwiczyć kilka przykładów.

Zadanie 1

Oblicz $\log_{10} 1000$ .

Rozwiązanie: $\log_{10} 1000 = 3$ , ponieważ $10^3 = 1000$ .

Zadanie 2

Oblicz $\ln e^5$ .

Rozwiązanie: $\ln e^5 = 5$ , ponieważ $\ln e^x = x$ .

Zadanie 3

Oblicz $\log_2 32$ .

Rozwiązanie: $\log_2 32 = 5$ , ponieważ $2^5 = 32$ .

Zadanie 4

Rozwiąż równanie $\log_x 16 = 4$ .

Rozwiązanie: $x^4 = 16 \Rightarrow x = 2$ lub $x = -2$ . Jednakże, ponieważ logarytm jest zdefiniowany tylko dla dodatnich podstaw, $x = 2$ .

Funkcja logarytmiczna to kluczowy element matematyki, który znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki. Zrozumienie jej właściwości oraz umiejętność obliczania logarytmów są niezbędne dla każdego ucznia. Ćwiczenie zadań związanych z funkcjami logarytmicznymi pomoże utrwalić tę wiedzę i przygotować się do egzaminów.

Znajomość funkcji logarytmicznych oraz umiejętność ich stosowania pozwala na lepsze zrozumienie złożonych zagadnień matematycznych i naukowych. Dlatego warto poświęcić czas na naukę tej ważnej funkcji.

CZYTAJ TAKŻE: Kiedy proste są prostopadłe?

Sprawdź również

Humanizm w literaturze renesansowej. Analiza wybranych utworów

O nas

Wspólnie z naszymi Uczniami i
Rodzicami tworzymy świat
edukacyjnej przygody. Najlepsze, co
możemy im podarować, to
możliwość rozwoju i odnalezienia
swojej pasji.

Zapisz się do newslettera

Wpisz swój adres e-mail aby
zapisać się do newslettera i być na bieżąco z artykułami i wiedzą.

Śledź nas w social mediach

Ucz się z rabatem 20%