Czy wiesz, czym są liczby pierwsze i gdzie kończy się ich granica? Poznaj najmniejsze i największe liczby pierwsze odkryte przez człowieka, dowiedz się, dlaczego są tak fascynujące i gdzie znajdują zastosowanie – nie tylko w matematyce!

Czym właściwie są liczby pierwsze?

Zanim przejdziemy do konkretów, warto przypomnieć sobie, czym są liczby pierwsze. To takie liczby naturalne większe od 1, które mają dokładnie dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie. Innymi słowy, nie da się ich „rozłożyć” na czynniki – są jak cegły, z których zbudowane są inne liczby.

Na przykład:

2 – dzieli się tylko przez 1 i 2 → liczba pierwsza ✔️

3 – dzieli się tylko przez 1 i 3 → liczba pierwsza ✔️

4 – dzieli się przez 1, 2 i 4 → nie jest liczbą pierwszą ❌

To właśnie ich niepodzielność sprawia, że liczby pierwsze są tak wyjątkowe. Matematycy nazywają je „atomami arytmetyki” – bo każdą inną liczbę można zbudować z ich iloczynu. Fascynujące, prawda?

Najmniejsza liczba pierwsza

Zaczniemy od podstaw. Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza?

To 2. Tak – jedyna parzysta liczba pierwsza! Wszystkie inne liczby parzyste można podzielić przez 2, więc nie spełniają definicji liczby pierwszej. To czyni dwójkę absolutnie wyjątkową – stoi sama w swoim matematycznym świecie, jako pierwsza, najprostsza i zarazem jedyna parzysta liczba pierwsza.

Tuż po niej mamy kolejne „klasyki”:

• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29

I tak dalej… Ale zanim przejdziemy do olbrzymów, spójrzmy jeszcze na jedno pytanie.

Czy 1 to liczba pierwsza?

To częste nieporozumienie. Nie, liczba 1 nie jest liczbą pierwszą. Dlaczego?

Bo ma tylko jeden dzielnik – siebie. A liczby pierwsze muszą mieć dokładnie dwa dzielniki: 1 oraz siebie. Gdybyśmy zaliczyli 1 do liczb pierwszych, załamałoby to wiele zasad w matematyce – szczególnie przy rozkładzie liczb na czynniki pierwsze. To właśnie dlatego matematycy zgodnie uznali: 1 nie jest liczbą pierwszą.

Liczby pierwsze – czy mają koniec?

Tutaj robi się ciekawie. Czy liczby pierwsze się kiedyś kończą? Czy jest jakaś ostatnia, największa liczba pierwsza?

Odpowiedź: Nie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Już starożytni Grecy wiedzieli, że nie da się ich zliczyć. To Euklides, genialny matematyk z III wieku p.n.e., udowodnił, że zawsze można znaleźć kolejną liczbę pierwszą – niezależnie od tego, jak dużą liczbę już mamy. Dowód? Zadziwiająco prosty i elegancki – ale o tym innym razem.

Mimo że wiemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, to w praktyce… trudno je znaleźć. Szczególnie te naprawdę wielkie.

Największa liczba pierwsza? Odkrycie z XXI wieku

Tu zaczyna się prawdziwa przygoda. Bo chociaż wiemy, że nie ma „ostatniej” liczby pierwszej, to wciąż szukamy największych, jakie jesteśmy w stanie znaleźć. I w tym celu nie wystarczy kartka i długopis – potrzebne są superkomputery, chmury obliczeniowe i globalna współpraca matematyków i pasjonatów.

Największa znana liczba pierwsza (stan na 2025 rok) to:

2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1

To ogromna liczba. Ile ma cyfr?

Ponad 24 miliony cyfr! Dokładnie: 24 862 048 cyfr.

Odkryto ją w 2018 roku w ramach projektu GIMPS – Great Internet Mersenne Prime Search. Tak, liczby pierwsze mogą być tak duże, że nawet trudno je zapisać. Właśnie dlatego naukowcy polują nie na wszystkie liczby pierwsze, ale na te specjalne – np. liczby Mersenne’a.

Czym są liczby Mersenne’a?

To liczby pierwsze o specjalnej formie: 2ⁿ − 1. Nie wszystkie takie liczby są pierwsze, ale niektóre z największych znanych liczb pierwszych właśnie tak wyglądają.

Dlaczego ta forma jest popularna?

• Łatwo ją przetwarzać komputerowo
• Są związane z teorią liczb i kryptografią
• Mają ciekawe własności matematyczne

Przykłady:

• 2³ − 1 = 7 (pierwsza liczba Mersenne’a)
• 2⁵ − 1 = 31
• 2⁷ − 1 = 127
• …

Aż po milionowe wykładniki, jak w liczbie z 2018 roku.

Czy liczby pierwsze mają zastosowanie?

I to jakie! Choć mogą wydawać się abstrakcyjne, są kluczowe w nowoczesnym świecie, szczególnie w bezpieczeństwie cyfrowym.

1. Szyfrowanie danych

Wszystkie hasła, bankowość online, certyfikaty stron internetowych – działają dzięki temu, że liczby pierwsze są trudne do „rozbicia”. Algorytmy takie jak RSA opierają się na tym, że rozkładanie dużych liczb na czynniki pierwsze zajmuje komputerom bardzo dużo czasu. A to chroni nasze dane.

2. Generatory liczb losowych

Wiele systemów losowania – od gier komputerowych po kryptografię – korzysta z właściwości liczb pierwszych, aby generować trudne do przewidzenia ciągi liczb.

3. Algorytmy i informatyka

Liczby pierwsze są używane w algorytmach wyszukiwania, kompresji danych i strukturach baz danych. Bez nich nie byłoby nowoczesnych systemów informatycznych.

Ciekawostki o liczbach pierwszych

• Ciągle odkrywamy nowe! Choć największa znana liczba pierwsza pochodzi z 2018 roku, matematycy codziennie sprawdzają kolejne kandydatki.
• GIMPS działa dalej. Projekt możesz wesprzeć, instalując darmowy program i udostępniając moc swojego komputera.
• Nieprzewidywalność – mimo setek lat badań, liczby pierwsze nie tworzą prostych wzorów. Ich „rozrzut” wydaje się przypadkowy.
• Nagrody czekają! Ktokolwiek znajdzie liczbę pierwszą z ponad 100 milionami cyfr, może zgarnąć 150 000 dolarów od organizatorów GIMPS.

Najmniejsze i największe liczby pierwsze

• Najmniejsza liczba pierwsza to 2 – jedyna parzysta.
• Największa znana liczba pierwsza (stan na 2025) to 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1 – ponad 24 miliony cyfr!
• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale znalezienie kolejnych – szczególnie tych gigantycznych – to zadanie dla komputerów.
• Mają ogromne znaczenie w matematyce, informatyce i bezpieczeństwie cyfrowym.

Liczby pierwsze są jak kosmiczne planety – wiemy, że są, wiemy, że gdzieś daleko kryją się kolejne, ale dotarcie do nich to wyzwanie. I właśnie dlatego są tak fascynujące. Może to właśnie Ty odkryjesz kolejną?

CZYTAJ TAKŻE: Jak nauczyć się tabliczki mnożenia w jeden dzień?