W geometrii okręgu łatwo pogubić się w podobnie brzmiących pojęciach. Styczna, sieczna, cięciwa i średnica często pojawiają się na jednym rysunku, a do tego dochodzą jeszcze kąty i zależności między odcinkami. Właśnie dlatego temat twierdzenia o stycznej i siecznej warto ułożyć sobie spokojnie i logicznie.
To twierdzenie pojawia się wtedy, gdy z jednego punktu leżącego poza okręgiem wychodzą dwa odcinki: jeden jest styczną, a drugi leży na siecznej przecinającej okrąg. Taka sytuacja występuje w wielu zadaniach rachunkowych i dowodowych, dlatego dobrze nie tylko znać wzór, ale też rozumieć, skąd się bierze i kiedy można go zastosować.
W tym artykule najpierw uporządkujemy podstawowe pojęcia, potem zapiszemy treść twierdzenia, a następnie pokażemy, jak stosować je w zadaniach. Na końcu przypomnimy również inne ważne zależności związane z okręgiem, między innymi kąt dopisany, kąt wpisany oraz twierdzenie o odcinkach stycznych.
Czym jest styczna, a czym sieczna okręgu
Zanim przejdziemy do wzoru, trzeba dobrze rozumieć najważniejsze pojęcia. To właśnie tutaj bierze się większość błędów.
Styczna to prosta, która ma z okręgiem jeden punkt wspólny. Mówimy wtedy, że dotyka okręgu. Ten punkt nazywamy punktem styczności.
Sieczna to prosta, która przecina okrąg w dwóch punktach. Jeśli zaznaczymy tylko fragment tej prostej zawarty między tymi punktami, otrzymamy cięciwę okręgu.
Jeżeli cięciwa przechodzi przez środek okręgu, jest średnicą okręgu. Każda średnica jest więc cięciwą, ale nie każda cięciwa jest średnicą.
Najłatwiej uporządkować to w krótkiej tabeli:
| Pojęcie | Co oznacza | Jak to rozpoznać |
|---|---|---|
| styczna | prosta mająca z okręgiem jeden punkt wspólny | dotyka okręgu tylko raz |
| sieczna okręgu | prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach | przechodzi przez okrąg |
| cięciwa okręgu | odcinek łączący dwa punkty okręgu | ma końce na okręgu |
| średnica okręgu | szczególna cięciwa przechodząca przez środek okręgu | dzieli okrąg na dwie równe części |
To rozróżnienie jest bardzo ważne. W wielu zadaniach uczeń widzi prostą przecinającą okrąg i od razu nazywa ją cięciwą, chociaż w rzeczywistości cięciwą jest tylko odcinek, a nie cała prosta.
Twierdzenie o stycznej i siecznej
Przejdźmy teraz do najważniejszej części.
Załóżmy, że poza okręgiem leży punkt P. Z tego punktu poprowadzono styczną, która dotyka okręgu w punkcie . Z tego samego punktu poprowadzono sieczną przecinającą okrąg w punktach i .
W takiej sytuacji obowiązuje twierdzenie o stycznej i siecznej.
Jeżeli z punktu leżącego poza okręgiem poprowadzimy styczną i sieczną, to kwadrat długości odcinka stycznej jest równy iloczynowi długości odcinka zewnętrznego i całej siecznej.
W tym wzorze:
- oznacza długość stycznej,
- to odcinek zewnętrzny,
- oznacza całą długość siecznej liczona od punktu do dalszego punktu przecięcia z okręgiem.
To właśnie ten element trzeba dobrze zrozumieć. Wiele osób pamięta wzór, ale myli się przy podstawianiu danych, bo nie odróżnia części zewnętrznej od całej siecznej.
Najprostsza wersja brzmi tak: styczna do kwadratu = odcinek zewnętrzny razy cała sieczna.
Kiedy stosujemy to twierdzenie
Nie wystarczy znać sam wzór. Trzeba jeszcze wiedzieć, kiedy można go zastosować.
Twierdzenie o stycznej i siecznej stosujemy wtedy, gdy spełnione są jednocześnie trzy warunki:
- punkt wyjścia leży poza okręgiem,
- z tego punktu wychodzi styczna,
- z tego samego punktu wychodzi sieczna.
Jeżeli na rysunku nie ma stycznej, to nie jest ten przypadek. Jeżeli punkt przecięcia odcinków leży wewnątrz okręgu, również trzeba szukać innej zależności.
To bardzo ważne, bo wiele zadań wygląda podobnie, ale prowadzi do różnych wzorów. Dlatego przed rozpoczęciem obliczeń warto najpierw odpowiedzieć sobie na pytanie, z jaką sytuacją geometryczną mamy do czynienia.
Gdy punkt leży wewnątrz okręgu
Najczęstsza pomyłka polega na tym, że uczeń próbuje użyć twierdzenia o stycznej i siecznej w zadaniu, w którym wcale nie ma stycznej. Czasem na rysunku są po prostu dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu.
W takiej sytuacji obowiązuje inna zależność.
Jeżeli dwie cięciwy przecinają się w punkcie leżącym wewnątrz okręgu, to iloczyn długości odcinków jednej cięciwy jest równy iloczynowi długości odcinków drugiej cięciwy.
Tutaj nie ma ani stycznej, ani punktu zewnętrznego, więc nie można używać wzoru PB2=PA⋅PC.
Dla porządku dobrze jest zestawić te sytuacje obok siebie.
| Sytuacja | Wzór | Na co uważać |
|---|---|---|
| styczna i sieczna z jednego punktu poza okręgiem | PB2 = PA · PC | na rysunku musi być styczna |
| dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu | PA · PB = PC · PD | punkt przecięcia leży wewnątrz okręgu |
| dwie styczne z jednego punktu | PA = PB | oba odcinki są styczne do okręgu |
Taka tabela porządkuje temat dużo lepiej niż kilka wzorów zapisanych jeden pod drugim. Uczeń widzi, że najpierw trzeba rozpoznać układ, a dopiero potem wybrać odpowiednie twierdzenie.
Twierdzenie o odcinkach stycznych
Skoro mówimy o stycznych, warto od razu przypomnieć jeszcze jedną ważną własność, która często pojawia się w zadaniach obok twierdzenia o stycznej i siecznej.
Jeżeli z jednego punktu położonego poza okręgiem poprowadzimy dwie styczne, to otrzymane odcinki mają równe długości.
Jeżeli z jednego punktu poza okręgiem poprowadzimy dwie styczne do okręgu, to długości tych odcinków są równe.
To twierdzenie przydaje się szczególnie w zadaniach dowodowych. Dzięki niemu można wykazać, że pewien trójkąt jest równoramienny albo że dwa odcinki są sobie równe.
Kąt dopisany i kąt wpisany
Żeby jeszcze lepiej zrozumieć zależności występujące przy okręgu, warto przypomnieć dwa pojęcia: kąt dopisany i kąt wpisany.
Kąt wpisany to taki kąt, którego wierzchołek leży na okręgu.
Kąt dopisany powstaje wtedy, gdy jedno ramię kąta jest styczną, a drugie cięciwą.
Między tymi kątami zachodzi bardzo ważna zależność:
Kąt dopisany jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.
Ta własność przydaje się nie tylko w zadaniach o kątach. Odgrywa ona ważną rolę również w dowodzie twierdzenia o stycznej i siecznej, bo pozwala wykazać równość odpowiednich kątów w rozpatrywanych trójkątach.
Skąd bierze się wzór
Na poziomie szkolnym nie zawsze trzeba zapisywać pełny dowód, ale dobrze wiedzieć, że wzór nie pojawia się przypadkowo.
W dowodzie wykorzystuje się odpowiednie trójkąty powstające na rysunku. Następnie pokazuje się, że mają one równe kąty. Część z tych kątów jest równa dzięki własności kąta dopisanego i kąta wpisanego, a część może być równa jako kąty wierzchołkowe. To prowadzi do wniosku, że trójkąty są podobne.
A skoro trójkąty są podobne, to można zapisać proporcje odpowiednich boków. Po ich przekształceniu otrzymujemy:
To właśnie kończy dowód i pokazuje, że twierdzenie o stycznej i siecznej wynika z wcześniejszych własności okręgu, a nie jest tylko wzorem do zapamiętania.
Jak rozwiązywać zadania krok po kroku
W praktyce bardzo pomaga prosty schemat działania.
Najpierw sprawdź, gdzie leży punkt: poza okręgiem czy wewnątrz niego. Potem ustal, czy na rysunku masz styczną, sieczną, cięciwę albo średnicę. Następnie zaznacz, który odcinek jest częścią zewnętrzną, a który oznacza całą sieczną. Dopiero wtedy dobierz odpowiedni wzór i wykonaj obliczenia.
Taka kolejność porządkuje myślenie i zmniejsza ryzyko mechanicznego podstawienia niewłaściwego wzoru.
Przykład 1 – zadanie ze styczną i sieczną
Załóżmy, że z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzono styczną PB oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach A i C. Dane są długości:
- PA = 4,
- PC = 9.
Trzeba obliczyć długość odcinka PB.
To klasyczny przypadek, więc stosujemy twierdzenie o stycznej i siecznej.
Zapisujemy wzór:
Podstawiamy dane:
Odpowiedź: długość stycznej wynosi 6.
To zadanie pokazuje, że rachunki nie są trudne. Najważniejsze jest poprawne rozpoznanie, że PA oznacza odcinek zewnętrzny, a PC całą sieczną.
Przykład 2 – odcinki przecinające się wewnątrz okręgu
Rozważmy teraz inną sytuację. Dwie cięciwy przecinają się w punkcie P leżącym wewnątrz okręgu. Jedna została podzielona na odcinki 2 i 8, a druga na odcinki 4 i x.
Tutaj nie ma stycznej, więc stosujemy inne twierdzenie.
Korzystamy ze wzoru dla przecinających się cięciw:
Odpowiedź: szukany odcinek ma długość 4.
Ten przykład dobrze pokazuje, jak ważne jest wcześniejsze rozpoznanie układu na rysunku.
Przykład 3 – kąt dopisany i kąt wpisany
Załóżmy, że kąt między styczną a cięciwą ma miarę 40°. Trzeba obliczyć miarę kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Tutaj nie interesują nas długości odcinków, tylko własność kątów przy okręgu.
Kąt dopisany jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, więc:
Odpowiedź: kąt wpisany ma miarę 40°.
To prosty przykład, ale dobrze pokazuje, że w zadaniach dotyczących okręgu nie zawsze chodzi tylko o długości. Czasem trzeba obliczyć samą miarę kąta.
Najczęstsze błędy
Na końcu warto zebrać typowe błędy, które pojawiają się przy tym temacie najczęściej.
| Błąd | Na czym polega | Jak go uniknąć |
|---|---|---|
| Mylenie siecznej z cięciwą | Uczeń traktuje prostą i odcinek jak to samo. | Najpierw nazwij wszystkie elementy na rysunku. |
| Złe podstawienie do wzoru | Uczeń bierze dwie części siecznej zamiast części zewnętrznej i całej długości. | Przed liczeniem zaznacz, co oznacza każdy odcinek. |
| Użycie niewłaściwego twierdzenia | Uczeń stosuje wzór ze styczną, choć punkt leży wewnątrz okręgu. | Najpierw sprawdź położenie punktu i typ odcinków. |
| Pomijanie informacji o kątach | Uczeń skupia się tylko na odcinkach i nie zauważa kąta dopisanego. | Sprawdź, czy zadanie nie dotyczy łuku albo miary kąta. |
Twierdzenie o stycznej i siecznej staje się dużo prostsze, kiedy patrzymy na nie nie jak na pojedynczy wzór, ale jak na konkretną sytuację geometryczną.
Jeżeli z jednego punktu leżącego poza okręgiem wychodzi styczna i sieczna, wtedy obowiązuje zależność:
Jeżeli odcinki przecinają się wewnątrz okręgu, używamy innego wzoru:
A jeśli z jednego punktu poprowadzimy dwie styczne, to ich długości są równe:
Najważniejsze jest więc to, żeby przed liczeniem dobrze odczytać rysunek. Kiedy uczeń potrafi rozpoznać, czy ma do czynienia ze styczną, sieczną, cięciwą czy średnicą, wtedy wybór odpowiedniego wzoru staje się dużo prostszy, a samo zadanie przestaje wyglądać groźnie.
