Trygonometria jest jednym z kluczowych działów matematyki, który znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i techniki. Wartości trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens, są podstawowymi narzędziami używanymi do opisu zjawisk związanych z kątami i odległościami. W tym artykule skupimy się na zadaniach związanych z wartościami trygonometrycznymi, które pomogą uczniom szkół średnich zrozumieć i opanować ten ważny temat.
Wartości trygonometryczne podstawowych kątów
Sinus, cosinus, tangens i cotangens
Podstawowe wartości trygonometryczne dla kątów 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ i 90∘ są często wykorzystywane w matematyce. Poniżej przedstawiamy tabelę z tymi wartościami:

Zadania z wartościami trygonometrycznymi
Zadanie 1: Obliczanie wartości sinusa
Oblicz sinus kąta 45∘.
Rozwiązanie
Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:
Zadanie 2: Obliczanie wartości cosinusa
Oblicz cosinus kąta 60∘60∘.
Rozwiązanie
Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:
Zadanie 3: Obliczanie wartości tangensa
Oblicz tangens kąta 30∘.
Rozwiązanie
Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:
Zadanie 4: Obliczanie wartości cotangensa
Oblicz cotangens kąta 60∘.
Rozwiązanie
Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:

Zadania z zastosowaniem wartości trygonometrycznych
Zadanie 5: Obliczanie długości boku trójkąta
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma 30∘. Przeciwprostokątna ma długość 10 jednostek. Oblicz długość przyprostokątnej przeciwległej do kąta 30∘.
Rozwiązanie
Używając wartości sinusa, obliczamy:
Podstawiając znane wartości:
Stąd:
Zadanie 6: Obliczanie wysokości w trójkącie równobocznym
Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 8 jednostek.
Rozwiązanie
Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, każdy o kątach 30∘ i 60∘. Używamy wartości sinusa dla kąta 60∘:
Podstawiając znane wartości:
Zadanie 7: Obliczanie odległości
Statek płynie prosto na północ, a następnie skręca o 45∘ na wschód. Po przepłynięciu 10 jednostek na wschód, oblicz, jak daleko znajduje się od punktu wyjścia.
Rozwiązanie
Tworzymy trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątna wynosi 10 jednostek, a kąty wewnętrzne wynoszą 45∘. Używamy wartości cosinusa i sinusa dla kąta 45∘:
Odległość wzdłuż osi północnej i wschodniej wynosi:
Całkowita odległość od punktu wyjścia:
Wartości trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens, są nieodzownymi narzędziami w matematyce, które pomagają w rozwiązywaniu problemów związanych z kątami i odległościami. Zrozumienie, jak obliczać te wartości i stosować je w praktyce, jest kluczowe dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do matury. Dzięki praktycznym przykładom i zadaniom można łatwo opanować podstawowe zasady trygonometrii.