Ucz się z rabatem 20%

Wartości trygonometryczne – tabela i zadania z rozwiązaniami

Trygonometria jest jednym z kluczowych działów matematyki, który znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i techniki. Wartości trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens, są podstawowymi narzędziami używanymi do opisu zjawisk związanych z kątami i odległościami. W tym artykule skupimy się na zadaniach związanych z wartościami trygonometrycznymi, które pomogą uczniom szkół średnich zrozumieć i opanować ten ważny temat.

Wartości trygonometryczne podstawowych kątów

Sinus, cosinus, tangens i cotangens

Podstawowe wartości trygonometryczne dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 są często wykorzystywane w matematyce. Poniżej przedstawiamy tabelę z tymi wartościami:

Zadania z wartościami trygonometrycznymi

Zadanie 1: Obliczanie wartości sinusa

Oblicz sinus kąta 45.

Rozwiązanie

Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

Zadanie 2: Obliczanie wartości cosinusa

Oblicz cosinus kąta 60∘60∘.

Rozwiązanie

Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

Zadanie 3: Obliczanie wartości tangensa

Oblicz tangens kąta 30.

Rozwiązanie

Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:

\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

Zadanie 4: Obliczanie wartości cotangensa

Oblicz cotangens kąta 60.

Rozwiązanie

Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:

\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

Zadania z zastosowaniem wartości trygonometrycznych

Zadanie 5: Obliczanie długości boku trójkąta

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma 30. Przeciwprostokątna ma długość 10 jednostek. Oblicz długość przyprostokątnej przeciwległej do kąta 30.

Rozwiązanie

Używając wartości sinusa, obliczamy:

\sin 30^\circ = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{2}

Podstawiając znane wartości:

\frac{1}{2} = \frac{10}{x}

Stąd:

x = 10 \times 2 = 5

Zadanie 6: Obliczanie wysokości w trójkącie równobocznym

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 8 jednostek.

Rozwiązanie

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, każdy o kątach 30 i 60. Używamy wartości sinusa dla kąta 60:

\sin 60^\circ = \frac{\text{wysokość}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Podstawiając znane wartości:

h = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93

Zadanie 7: Obliczanie odległości

Statek płynie prosto na północ, a następnie skręca o 45 na wschód. Po przepłynięciu 10 jednostek na wschód, oblicz, jak daleko znajduje się od punktu wyjścia.

Rozwiązanie

Tworzymy trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątna wynosi 10 jednostek, a kąty wewnętrzne wynoszą 45. Używamy wartości cosinusa i sinusa dla kąta 45:

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

Odległość wzdłuż osi północnej i wschodniej wynosi:

d_{\text{północ}} = 10 \times \cos 45^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}

d_{\text{wschód}} = 10 \times \sin 45^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}

Całkowita odległość od punktu wyjścia:

d = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10

Wartości trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens, są nieodzownymi narzędziami w matematyce, które pomagają w rozwiązywaniu problemów związanych z kątami i odległościami. Zrozumienie, jak obliczać te wartości i stosować je w praktyce, jest kluczowe dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do matury. Dzięki praktycznym przykładom i zadaniom można łatwo opanować podstawowe zasady trygonometrii.

Sprawdź również

O nas

Wspólnie z naszymi Uczniami i
Rodzicami tworzymy świat
edukacyjnej przygody. Najlepsze, co
możemy im podarować, to
możliwość rozwoju i odnalezienia
swojej pasji.

Zapisz się do newslettera

Wpisz swój adres e-mail aby
zapisać się do newslettera i być na bieżąco z artykułami i wiedzą.

Śledź nas w social mediach