Silnia to ważne zagadnienie w matematyce, które często pojawiają się na egzaminie maturalnym. W tym artykule wyjaśnimy, czym jest, a także jak rozwiązywać zadania maturalne, w których pojawia się to pojęcie.
Co to jest silnia?
Silnia, oznaczana symbolem n! (czytaj: „n silnia”), to matematyczna funkcja, która przypisuje każdej liczbie naturalnej n iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie. Formalnie można ją zdefiniować jako:
Przykład obliczenia silni dla kilku początkowych liczb naturalnych:
(przyjmuje się, że silnia z 0 jest równa 1)
Właściwości silni
Rekurencyjność: Silnia ma właściwość rekurencyjną, co oznacza, że każdą silnię można wyrazić w postaci iloczynu liczby n i silni z (n-1):
Wartość 0!: Umowną wartością silni z 0 jest 1, co wynika z definicji pustego iloczynu.
Szybki wzrost: Silnia rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem n. Dla dużych n wartości silni stają się ogromne.
Zastosowanie silni
Silnia znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i nauki. Oto kilka przykładów:
- Kombinatoryka: Silnia jest podstawą obliczeń kombinatorycznych, takich jak permutacje i kombinacje. Na przykład liczba permutacji n-elementowego zbioru wynosi n!.
- Teoria prawdopodobieństwa: W obliczeniach prawdopodobieństwa silnia jest używana do określania liczby możliwych zdarzeń.
- Analiza matematyczna: Pojawia się w rozwinięciach szeregów potęgowych, takich jak szereg Taylora i szereg Maclaurina.
- Algorytmy i programowanie: Silnia jest często używana w algorytmach i programowaniu, szczególnie w problemach związanych z rekurencją i optymalizacją.
Chcesz dowiedzieć się więcej o silni? Sprawdź nasze korki z matmy!
Przykładowe zadania maturalne
Zadanie 1:
Oblicz wartość 7!
Rozwiązanie:
Zadanie 2:
Ile jest możliwych permutacji zbioru 5-elementowego?
Rozwiązanie:
Liczba permutacji zbioru 5-elementowego to 5!:
Zadanie 3:
W grupie 6 osób chcemy wybrać przewodniczącego i zastępcę. Ile jest możliwych sposobów dokonania tego wyboru?
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać to zadanie, należy zrozumieć, że wybór przewodniczącego i zastępcy spośród 6 osób to permutacja dwóch miejsc z sześciu dostępnych.
Krok 1: Wybór przewodniczącego. Mamy 6 osób do wyboru na stanowisko przewodniczącego. Możemy więc wybrać przewodniczącego na 6 różnych sposobów.
Krok 2: Wybór zastępcy. Po wybraniu przewodniczącego pozostaje nam 5 osób, z których możemy wybrać zastępcę. Możemy więc wybrać zastępcę na 5 różnych sposobów.
Aby znaleźć całkowitą liczbę możliwych sposobów wyboru przewodniczącego i zastępcy, mnożymy liczbę sposobów wyboru przewodniczącego przez liczbę sposobów wyboru zastępcy:
Czyli mamy 30 różnych sposobów wyboru przewodniczącego i zastępcy spośród 6 osób.
Zadanie 4:
Oblicz wartość wyrażenia:
Rozwiązanie:
CZYTAJ TAKŻE: Odejmowanie potęg – zadania z rozwiązaniami
