Blog » Ciągi – zadania z rozwiązaniami. Przykłady różnych typów zadań

Przedmioty szkolne

Przedmioty szkolne

Ciągi – zadania z rozwiązaniami. Przykłady różnych typów zadań

06 czerwca 2024

Ciągi to jedno z podstawowych pojęć w matematyce, które jest kluczowe w wielu dziedzinach, od algebry po analizę matematyczną. Rozwiązywanie zadań związanych z ciągami jest nie tylko istotne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów, ale także pomaga w zrozumieniu innych, bardziej zaawansowanych zagadnień matematycznych. W tym artykule przybliżymy pojęcie ciągów, omówimy ich rodzaje oraz przedstawimy przykłady zadań i metod ich rozwiązywania.

Czym są ciągi?

Ciąg to funkcja, która przypisuje każdemu elementowi z pewnego zbioru liczb naturalnych dokładnie jedną liczbę rzeczywistą. Ciąg można zapisać jako:

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$

gdzie $a_n$ to n-ty wyraz ciągu. Ciągi są podstawą wielu zagadnień matematycznych, dlatego ich zrozumienie jest kluczowe.

Rodzaje ciągów

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Różnicę tę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy literą $d$ . Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Iloraz ten nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy literą $q$ . Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Przykłady i zadania

Zadanie 1: Ciąg arytmetyczny

Znajdź n-ty wyraz oraz sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1 = 3$ oraz $d = 2$ .

Rozwiązanie:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Podstawiając dane:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Podstawiając dane dla pierwszych 10 wyrazów:

$S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (3 + (2 \cdot 10 + 1)) = 5 \cdot (3 + 21) = 5 \cdot 24 = 120$

Zadanie 2: Ciąg geometryczny

Znajdź n-ty wyraz oraz sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1 = 2$ oraz $q = 3$ .

Rozwiązanie:

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Podstawiając dane:

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego (dla $q \neq 1$ ):

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Podstawiając dane dla pierwszych 6 wyrazów:

$S_6 = 2 \cdot \frac{1-3^6}{1-3} = 2 \cdot \frac{-728}{-2} = 2 \cdot 364 = 728$

Zadanie 3: Ciąg arytmetyczny

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego, w którym $a_5 = 15$ oraz $a_{10} = 25$ .

Rozwiązanie:

Używając wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

dla $a_5$ :

$a_5 = a_1 + 4d = 15$

dla $a_{10}$ :

$a_{10} = a_1 + 9d = 25$

Odejmując te dwa równania:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 4d) = 25 - 15$

$5d = 10$

$d = 2$

Różnica ciągu arytmetycznego wynosi $d = 2$ .

Zadanie 4: Ciąg geometryczny

Znajdź iloraz ciągu geometrycznego, w którym $a_2 = 12$ oraz $a_5 = 324$ .

Rozwiązanie:

Używając wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

dla $a_2$ :

$12 = a_1 \cdot q$

dla $a_5$ :

$324 = a_1 \cdot q^4$

Dzielenie drugiego równania przez pierwsze:

$\frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q} = \frac{324}{12}$

$q^3 = 27$

$q = 3$

Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $q = 3$ .

Zadanie 5: Ciąg arytmetyczny

Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1 = 5$ oraz $d = 3$ .

Rozwiązanie:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Podstawiając dane:

$a_{15} = 5 + (15-1) \cdot 3 = 5 + 42 = 47$

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Podstawiając dane dla pierwszych 15 wyrazów:

$S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (5 + 47) = 7.5 \cdot 52 = 390$

Zadanie 6: Ciąg geometryczny

Oblicz sumę pierwszych 8 wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1 = 4$ oraz $q = 2$ .

Rozwiązanie:

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Podstawiając dane:

$a_8 = 4 \cdot 2^{7} = 4 \cdot 128 = 512$

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego (dla $q \neq 1$ ):

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Podstawiając dane dla pierwszych 8 wyrazów:

$S_8 = 4 \cdot \frac{1-2^8}{1-2} = 4 \cdot \frac{1-256}{-1} = 4 \cdot 255 = 1020$

Ciągi są fundamentalnym pojęciem w matematyce, które znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach. Zrozumienie, jak rozwiązywać zadania związane z ciągami, jest kluczowe dla dalszej nauki matematyki. Regularne ćwiczenie zadań z ciągami pomoże utrwalić tę wiedzę i zwiększyć pewność siebie w rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych problemów matematycznych. Dlatego warto poświęcić czas na naukę tych zagadnień, aby móc skutecznie stosować je w praktyce.

CZYTAJ TAKŻE: Nierówności kwadratowe – zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Sprawdź również

Czy „Romeo i Julia” Szekspira to jedynie opowieść o miłości? Analiza dramatu w kontekście konfliktów społecznych, pokoleniowych i uniwersalnych wartości.

O nas

Wspólnie z naszymi Uczniami i
Rodzicami tworzymy świat
edukacyjnej przygody. Najlepsze, co
możemy im podarować, to
możliwość rozwoju i odnalezienia
swojej pasji.

Zapisz się do newslettera

Wpisz swój adres e-mail aby
zapisać się do newslettera i być na bieżąco z artykułami i wiedzą.

Śledź nas w social mediach

Ucz się z rabatem 20%

Szkolne

Hobby

Kursy Egzaminacyjne

Kursy Egzaminacyjne

Kursy - rozwój osobisty

Kategorie

Szkolne

Hobby

Kursy Egzaminacyjne

Kursy Egzaminacyjne

Kursy - rozwój osobisty

Kategorie

Ciągi – zadania z rozwiązaniami. Przykłady różnych typów zadań

Czym są ciągi?

Rodzaje ciągów

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

Przykłady i zadania

Zadanie 1: Ciąg arytmetyczny

Zadanie 2: Ciąg geometryczny

Zadanie 3: Ciąg arytmetyczny

Zadanie 4: Ciąg geometryczny

Zadanie 5: Ciąg arytmetyczny

Zadanie 6: Ciąg geometryczny

Sprawdź również

Czy „Romeo i Julia” Szekspira to tylko historia miłosna?

Dni tygodnia po angielsku

Jak napisać charakterystykę postaci? Elementy charakterystyki z przykładami

O nas

Zapisz się do newslettera

Śledź nas w social mediach

Tutore

Nasze kursy

Dla nauczycieli

Wsparcie

Adres