Funkcje trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus i tangens, odgrywają fundamentalną rolę w matematyce. Aby lepiej zrozumieć ich właściwości, warto przyjrzeć się ich wykresom. W tym artykule omówimy, jak wyglądają wykresy tych funkcji, jakie mają właściwości i jak można je stosować w praktyce.
Wykres funkcji sinus
Wzór funkcji sinus
Funkcja sinus jest definiowana jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym:
Wykres funkcji sinus
Wykres funkcji sinus ma charakterystyczny kształt fali. Oto jego podstawowe właściwości:
- Okres: 2𝜋
- Amplituda: 1
- Miejsca zerowe: 𝑥=𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą
- Maksimum: 1
- Minimum: -1
Wykres funkcji cosinus
Wzór funkcji cosinus
Funkcja cosinus jest definiowana jako stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym:
Wykres funkcji cosinus
Wykres funkcji cosinus jest przesunięty w fazie o 𝜋22π względem wykresu funkcji sinus. Oto jego podstawowe właściwości:
- Okres: 2𝜋
- Amplituda: 1
- Miejsca zerowe: 𝑥=𝜋/2+𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą
- Maksimum: 1
- Minimum: -1
Wykres funkcji tangens
Wzór funkcji tangens
Funkcja tangens jest definiowana jako stosunek sinusa do cosinusa:
Wykres funkcji tangens
Wykres funkcji tangens ma charakterystyczne asymptoty pionowe tam, gdzie cosinus przyjmuje wartość zero. Oto jego podstawowe właściwości:
- Okres: 𝜋π
- Amplituda: Brak (funkcja nieskończona)
- Miejsca zerowe: 𝑥=𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą
- Asymptoty pionowe: x=π/2+kπ, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą
Przykładowe zadanie maturalne
Zadanie
Oblicz miejsca zerowe funkcji f(x)=sin(x)−1/2 na przedziale 0≤x≤2π.
Rozwiązanie
Miejsca zerowe funkcji to wartości 𝑥, dla których 𝑓(𝑥)=0:
Stąd:
Z tabeli wartości trygonometrycznych wiemy, że:
W przedziale 0≤𝑥≤2𝜋 mamy dwa miejsca zerowe: π/6 i 5𝜋/6.
Wykresy funkcji trygonometrycznych, takich jak sinus, cosinus i tangens, są nieodzownym narzędziem w matematyce. Dzięki nim można lepiej zrozumieć właściwości tych funkcji oraz ich zastosowania w różnych dziedzinach nauki i techniki. Zrozumienie wykresów funkcji trygonometrycznych jest kluczowe dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do matury.
CZYTAJ TAKŻE: Java dla dzieci: wprowadzenie do programowania
